题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形.（12分）
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于，两点，若线段的垂直平分线经过点，求
（为原点）面积的最大值.

答案

（1）；(2) 面积的最大值为.

解析

试题分析：（1）两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形,可知，又在椭圆上，可得的值；（2）可得直线直线有斜率，当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴，，当直线的斜率不为时，则设的方程为，与椭圆方程联立可得，方程有两个不同的解又，
由弦长公式求出，又原点到直线的距离为，那么，可得时，取得最大值.
试题解析：（1）∵椭圆的两焦点与短轴的两个端点的连线构成正方形，
∴，∴，             2分
又∵椭圆经过点，代入可得，
∴故所求椭圆方程为                 4分
(2)设因为的垂直平分线通过点，显然直线有斜率，
当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴，此时
所以，因为，所以

所以，当且仅当时，取得最大值为，     6分
当直线的斜率不为时，则设的方程为
所以，代入得到         
当,   即                          
方程有两个不同的解又，         
所以，又，化简得到    -----8分
代入，得到               
又原点到直线的距离为

所以
考虑到且化简得到              10分
因为，所以当时，即时，取得最大值.
综上，面积的最大值为            12分