已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线l：y=-2的距离小1．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）动点E在直线l上，过点E分别作曲线C的切线EA，EB，切点为A、B．
（ⅰ）求证：直线AB恒过一定点，并求出该定点的坐标；
（ⅱ）在直线l上是否存在一点E，使得△ABM为等边三角形（M点也在直线l上）？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由． |
（Ⅰ）曲线C的方程x2=4y（5分）
（Ⅱ）（ⅰ）设E（a，-2），A(x1，)，B(x2，)，
∵y=∴y′=x过点A的抛物线切线方程为y-=x1(x-x1)，
∵切线过E点，∴-2-=x1(a-x1)，整理得：x12-2ax1-8=0
同理可得：x22-2ax2-8=0，∴x1，x2是方程x2-2ax-8=0的两根，∴x1+x2=2a，x1•x2=-8可得AB中点为(a，)
又kAB====，
∴直线AB的方程为y-(+2)=(x-a)即y=x+2，∴AB过定点（0，2）（10分）
（ⅱ）由（ⅰ）知AB中点N(a，)，直线AB的方程为y=x+2
当a≠0时，则AB的中垂线方程为y-=-(x-a)，
∴AB的中垂线与直线y=-2的交点M(，-2)∴|MN|2=(-a)2+(-2-)2=(a2+8)2(a2+4)
∵|AB|==
若△ABM为等边三角形，则|MN|=|AB|，
∴(a2+8)2(a2+4)=(a2+4)(a2+8)，
解得a2=4，∴a=±2，此时E（±2，-2），
当a=0时，经检验不存在满足条件的点E
综上可得：满足条件的点E存在，坐标为E（±2，-2）．（15分） |
核心考点
试题【已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线l：y=-2的距离小1．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）动点E在直线l上，过点E分别作曲线C的切线E】；主要考察你对
抛物线的定义与方程等知识点的理解。
[详细]举一反三
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点M在AB上，且AM=AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离与P到点M的距离相等，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是______． |
| 设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为-，那么|PF|=（ ） |
若点A的坐标为（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为（ ）| A．（0，0） | B．(，1) | C．(1，) | D．（2，2） |
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| 设抛物线x2=12y的焦点为F，经过点P（2，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，若点P恰为线段AB的中点，则|AF|+|BF|=______． |
| 设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（ ） |
