题目
题型:不详难度:来源:
⑴若抛物线C在点M的法线的斜率为 ,求点M的坐标;
⑵设P为C对称轴上的一点,在C上是否存在点,使得C在该点的法线通过点P。若有,求出这些点,以及C在这些点的法线方程;若没有,请说明理由。
答案
(1)(,)
(2)略
解析
⑴函数的导数,点处切线的斜率k0=
.∵过点的法线斜率为,∴()=,解得,。
故点M的坐标为(,)。
⑵设M为C上一点,
若,则C上点M处的切线斜率k=0,
过点M的法线方程为,次法线过点P;
若,则过点M的法线方程为:。
若法线过点P,则,即。
若,则,从而,
代入得,。
若,与矛盾,若,则无解。
综上,当时,在C上有三点(,),(,)及,
在该点的法线通过点P,
法线方程分别为,,。
当时,在C上有一点,在该点的法线通过点P,法线方程为。
核心考点
试题【已知抛物线C:, 过抛物线C上点M且与M处的切线垂直的直线称为抛物线C在点M的法线。⑴若抛物线C在点M的法线的斜率为 ,求点M的坐标;⑵设P为C对称轴上的一点,】;主要考察你对抛物线的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
已知抛物线:的焦点为,过点作直线交抛物线于、两点;椭圆的中心在原点,焦点在轴上,点是它的一个顶点,且其离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)经过、两点分别作抛物线的切线、,切线与相交于点.证明:;
(3)椭圆上是否存在一点,经过点作抛物线的两条切线、(、为切点),使得直线过点?若存在,求出抛物线与切线、所围成图形的面积;若不存在,试说明理由.
A、B两点,则|AB|= 。
A. | B. | C. | D. |
已知抛物线,过它的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于、两点,求弦的长.
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