题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
已知直线上有一个动点,过点作直线垂直于轴,动点在上,且满足
(为坐标原点),记点的轨迹为.
（1）求曲线的方程；
（2）若直线是曲线的一条切线, 当点到直线的距离最短时,求直线的方程. 

答案

（1）.  (2) 或.

解析

本试题主要是考查了轨迹方程的求解，以及直线与抛物线位置关系的综合运用。
（1）设点的坐标为,则点的坐标为.
∵, ∴，得到关系式。
（2）直线与曲线相切,∴直线的斜率存在.
设直线的方程为,与抛物线联立方程组，结合韦达定理和点到直线的距离公式得到结论。
(1)解:设点的坐标为,则点的坐标为.
∵, ∴. 
当时,得,化简得.   …… 2分
当时, 、、三点共线，不符合题意，故.
∴曲线的方程为.         …… 4分
(2) 解法1:∵ 直线与曲线相切,∴直线的斜率存在.
设直线的方程为,      …… 5分
由 得.
∵ 直线与曲线相切,
∴,即.       …… 6分
点到直线的距离       …… 7分
                  …… 8分
                 …… 9分
.                                  …… 10分
当且仅当，即时，等号成立.此时.  ……12分
∴直线的方程为或.                …… 14分
解法2：利用导数求切线。