题目
题型:不详难度:来源:
(1)求曲线E的方程;
(2)若点A的坐标为,与曲线E相交于B,C两点,直线AB,AC分别交直线于点S,T.试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点?若是,求这两个定点的坐标;若不是,说明理由.
答案
解析
试题分析:(1)根据抛物线的定义可知,点的轨迹是以点为焦点, 为准线的抛物线.
可得曲线的方程为.
(2)设点的坐标分别为,依题意得,.
由消去得,
应用韦达定理.
直线的斜率,
故直线的方程为.
令,得,
得到点的坐标为.点的坐标为.
得到.
设线段的中点坐标为,
而
.
故以线段为直径的圆的方程为.
令,得,解得或.
确定得到以线段为直径的圆恒过两个定点.
(1)由题意, 点到点的距离等于它到直线的距离,
故点的轨迹是以点为焦点, 为准线的抛物线.
∴曲线的方程为. 4分
(2)设点的坐标分别为,依题意得,.
由消去得,
∴. 6分
直线的斜率,
故直线的方程为.
令,得,
∴点的坐标为.
同理可得点的坐标为.
∴
.
∴. 8分
设线段的中点坐标为,
则
.
∴以线段为直径的圆的方程为.
展开得. 11分
令,得,解得或.
∴以线段为直径的圆恒过两个定点. 13分
核心考点
试题【已知定点,过点F且与直线相切的动圆圆心为点M,记点M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)若点A的坐标为,与曲线E相交于B,C两点,直线AB,AC分别交直】;主要考察你对抛物线的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若,的面积为;求的值及圆的方程;
(2)若三点在同一直线上,直线与平行,且与只有一个公共点,求坐标原点到距离的比值.
A. | B. | C. | D. |
设抛物线的焦点为,过且垂直于轴的直线与抛物线交于两点,已知.
(1)求抛物线的方程;
(2)设,过点作方向向量为的直线与抛物线相交于两点,求使为钝角时实数的取值范围;
(3)①对给定的定点,过作直线与抛物线相交于两点,问是否存在一条垂直于轴的直线与以线段为直径的圆始终相切?若存在,请求出这条直线;若不存在,请说明理由。
②对,过作直线与抛物线相交于两点,问是否存在一条垂直于轴的直线与以线段为直径的圆始终相切?(只要求写出结论,不需用证明)
A.P2 B.-p2 C.-1 D.1
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