题目

题型：不详难度：来源：

（2011•浙江）已知抛物线C₁：x²=y，圆C₂：x²+（y﹣4）²=1的圆心为点M
（1）求点M到抛物线C₁的准线的距离；
（2）已知点P是抛物线C₁上一点（异于原点），过点P作圆C₂的两条切线，交抛物线C₁于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．

答案

（1）    （2）

解析

（1）由题意画出简图为：
由于抛物线C₁：x²=y准线方程为：y=﹣，圆C₂：x²+（y﹣4）²=1的圆心M（0，4），
利用点到直线的距离公式可以得到距离d==．
（2）设点P（x₀，x₀²），A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²）；
由题意得：x₀≠0，x₂≠±1，x₁≠x₂，
设过点P的圆c₂的切线方程为：y﹣x₀²=k（x﹣x₀）即y=kx﹣kx₀+x₀²①
则，即（x₀²﹣1）k²+2x₀（4﹣x₀²）k+（x₀²﹣4）²﹣1=0
设PA，PB的斜率为k₁，k₂（k₁≠k₂），则k₁，k₂应该为上述方程的两个根，
∴，；
代入①得：x²﹣kx+kx₀﹣x₀²="0" 则x₁，x₂应为此方程的两个根，
故x₁=k₁﹣x₀，x₂=k₂﹣x₀
∴k_AB=x₁+x₂=k₁+k₂﹣2x₀=
由于MP⊥AB，∴k_AB•K_MP=﹣1⇒
故P∴．