题目

题型：山东省期末题难度：来源：

已知过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x₁，y₁）和
B（x_2，y₂）（x₁＜x₂）两点，且|AB|=9，
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．

答案

解：（1）直线AB的方程是y=2（x﹣），与y²=2px联立，有4x²﹣5px+p²=0，
∴x₁+x₂=
由抛物线定义得：|AB|=x₁+x₂+p=9
∴p=4，
∴抛物线方程是y²=8x．
（2）由p=4，4x²﹣5px+p²=0得：x²﹣5x+4=0，
∴x₁=1，x₂=4，y₁=﹣2，y₂=4，
从而A（1，﹣2），B（4，4）．
设=（x₃，y₃）=（1，﹣2）+λ（4，4）=（4λ+1，4λ﹣2）
又[2（2λ﹣1）]2=8（4λ+1），
解得：λ=0，或λ=2．