题目

题型：湖北省模拟题难度：来源：

如图，线段AB过y轴上一点 N（0，m），AB所在直线的斜率为k（k≠0），两端点A，B到y 轴的距离之差为4k。
（1）求以y轴为对称轴，过A，O，B三点的抛物线方程；
（2）过抛物线的焦点F作动弦CD，过C，D两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，求点M的轨迹方程，并求的值。

答案

解：（1）依题意，设AB所在直线方程为y=kx+m，抛物线方程为x²=2py（p>0），
且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题设知x₁>0，x₂＜0，
∴|x₁|-|x₂|=4k，即x₁+x₂=4k，
由消去y并整理，得x²-2pkx-2pm=0，
∴x₁+x₂=2pk=4k，
∴p=2
故所求抛物线方程为x²=4y。
（2）由（1）得，求导数得
设
则过抛物线上C，D两点的切线方程分别为

即
联立上述两个方程，得
∴两条切线的交点M的坐标为
设CD所在直线方程为y=nx+1，代入x²=4y，得x²-4nx-4 =0
∴x₃x₄=-4，
∴M的坐标为
故点M的轨迹方程为y=-1
又∵
∴

而
∴。