题目

题型：河南省模拟题难度：来源：

如图是A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F是一个滑滑板的轨道截面图，其中AB，DE，EF是线段，B﹣C﹣D是一抛物线弧；点C是抛物线的顶点，直线DE与抛物线在D处相切，直线L是地平线．已知点B离地面L的高度是9米，离抛物线的对称轴距离是6米，直线DE与L的夹角是45．试建立直角坐标系：
（Ⅰ）求抛物线方程，并确定D点的位置；
（Ⅱ）现将抛物线弧B-C-D改造成圆弧，要求圆弧经过点B，D，且与直线DE在D处相切．试判断圆弧与地平线L的位置关系，并求该圆弧长．
（可参考数据，精确到0.1米）

答案

解：（Ⅰ）以C为原点，L所在的直线为X轴，
如图所示建立直角坐标系，则B（﹣6，9）．   
  设抛物线的方程为y=ax²，
把点B（﹣6，9）代入y=ax²得，
故抛物线方程为．
设，
根据直线DE与L的夹角是45．
得直线L的斜率为1，
由，
∴，∴x₀=2，
故D点的坐标是（2，1）．
（Ⅱ）设所求圆的圆心为H．
过D与L垂直的直线方程是l₁：y=﹣x+3，
BD的中点坐标是（﹣2，5），k_BD=﹣1，
故BD中垂线方程是y=x+7，
由  ．
∴H（﹣2，5）．
∵B（﹣6，9）∈l₁，∴BD是直径．
∵．
∴．
∵圆心H到L的距离为d=5，，
故圆弧与地平线L相离．