题目
题型:不详难度:来源:
a |
MN |
a |
MN |
MF |
MG |
MG |
MN |
MF |
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同动点,直线OA和OB的倾斜角分别为α和β,若α+β=θ为定值(0<θ<π),试问直线AB是否恒过定点,若AB恒过定点,请求出该定点的坐标,若AB不恒过定点,请说明理由.
答案
由抛物线的定义知,点M的轨迹为抛物线,
其中F(1,0)为焦点,x=-1为准线,
所以轨迹方程为y2=4x;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得x1≠x2(否则α+β=π)且x1•x2≠0,
所以AB的斜率存在,设其方程为y=kx+b,
显然x1=
| ||
4 |
| ||
4 |
联立
|
4 |
k |
4b |
k |
由根与系数关系得:
|
1)当θ=
π |
2 |
π |
2 |
所以
y1 |
x1 |
y2 |
x2 |
| ||||
16 |
y | 21 |
y | 22 |
所以y1y2=16,
由①知:
4b |
k |
所以b=4k因此直线AB的方程可表示为y=kx+4k,
∴直线AB恒过定点(-4,0)
2)当θ≠
π |
2 |
tanα+tanβ |
1-tanαtanβ |
4(y1+y2) |
y1y2-16 |
将①式代入上式整理化简可得:tanθ=
4 |
b-4k |
4 |
tanθ |
此时,直线AB的方程可表示为y=kx+
4 |
tanθ |
∴直线AB恒过定点(-4,
4 |
tanθ |
∴当θ=
π |
2 |
当θ≠
π |
2 |
4 |
tanθ |
核心考点
试题【已知直线x=-1的方向向量为a及定点F(1,0),动点M,N,G满足MN-a=0,MN+MF=2MG,MG•(MN-MF)=0,其中点N在直线l上.(1)求动点】;主要考察你对抛物线等知识点的理解。[详细]
举一反三
m2 |
2 |
(I)若m=2,求抛物线C的方程
(II)设直线l与抛物线C交于A、B,△AA2F,△BB1F的重心分别为G,H,求证:对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的焦点在以线段GH为直径的圆外.