题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)在抛物线C上是否存在点P,使得过点P的直线交C于另一点Q,满足PF⊥QF,且PQ与C在点P处的切线垂直?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
则
a |
4 |
即a=4.
故所求抛物线C的方程为x2=4y.
(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则抛物线C在点P处的切线方程是y=
x1 |
2 |
直线PQ的方程是y=-
2 |
x1 |
将上式代入抛物线C的方程,得x2+
8 |
x1 |
故x1+x2=-
8 |
x1 |
所以x2=-
8 |
x1 |
4 |
y1 |
而
FP |
FQ |
FP |
FQ |
=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1
=-4(2+y1)+y1(
4 |
y1 |
4 |
y1 |
=y12-2y1-
4 |
y1 |
=(y12+2y1+1)-4(
1 |
y1 |
=(y1+1)2-
4(y1+1)2 |
y1 |
=
(y1-4)(y1+1)2 |
y1 |
故y1=4,此时,点P的坐标是(±4,4).
经检验,符合题意.
所以,满足条件的点P存在,其坐标为P(±4,4).
核心考点
试题【已知抛物线C的顶点在原点,焦点为F(0,1).(Ⅰ)求抛物线C的方程;(Ⅱ)在抛物线C上是否存在点P,使得过点P的直线交C于另一点Q,满足PF⊥QF,且PQ与C】;主要考察你对抛物线等知识点的理解。[详细]
举一反三
(I)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)设直线l与抛物线C相交于P,Q两点,求线段PQ中点M的坐标.
x2 |
9 |
y2 |
5 |