题目
题型:不详难度:来源:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
PA |
PB |
PF2 |
3 |
OP |
(Ⅰ)求双曲线C的离心率;
(Ⅱ)设a为正常数,若点Q在直线y=2x上,求直线MN在y轴上的截距的取值范围.
答案
a2+b2 |
因为
PA |
PB |
PF2 |
3 |
OP |
OA |
OB |
OF2 |
3 |
OP |
设点P(x0,y0)
(c-a)2 |
3a2 |
b2 |
3b2 |
,则(-a+c,b)=
3 |
1 | ||
|
b | ||
|
因为点P在双曲线
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
因为c>a,所以c-a=2a,即c=3a,故离心率e=
c |
a |
(Ⅱ)由(Ⅰ)知c=3a,则b2=c2-a2=8a2.(7分)
若MN⊥x轴,则Q在x轴上,不合题意.
设直线MN的方程为y=kx+m,代入
x2 |
a2 |
y2 |
8a2 |
若k2=8,则MN与双曲线C的渐近线平行,不合题意.
设点M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x0,y0),则x1+x2=
2km |
8-k2 |
x1+x2 |
2 |
km |
8-k2 |
8m |
8-k2 |
若点Q在直线y=2x上,则
8m |
8-k2 |
2km |
8-k2 |
因为点M、N在双曲线的右支上,所以m≠0,从而k=4.(11分)
此时,方程(*)可化为8x2+8mx+m2+8a2=0.
由△=82m2-4×8(m2+8a2)>0,得m2>8a2.(12分)
又M、N在双曲线C的右支上,则x1+x2=-m>0,所以m<-2
2 |
故直线MN在y轴上的截距的取值范围是(-∞,-2
2 |
核心考点
试题【设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),点A、B分别为双曲线C实轴的左端点和虚轴的上端点,点F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点,点M、N是双曲线】;主要考察你对双曲线的几何性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
a2 |
2 |
x2 |
8 |
y2 |
b2 |
4 |
3 |
3 |
2 |
13 |
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