题目

题型：上海难度：来源：

已知双曲线C：

x2

4

-y2=1，P为C上的任意点．
（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点A的坐标为（3，0），求|PA|的最小值．

答案

（1）设P（x₁，y₁）是双曲线上任意一点，
该双曲的两条渐近线方程分别是x-2y=0和x+2y=0．
点P（x₁，y₁）到两条渐近线的距离分别是

|x1-2y1|

5

和

|x1+2y1|

5

，
它们的乘积是

|x1-2y1|

5

•

|x1+2y1|

5

=

|x12-4y12|

5

=

4

5

．
点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数．
（2）设P的坐标为（x，y），则|PA|²=（x-3）²+y²=(x-3)2+

x2

4

-1=

5

4

(x-

12

5

)2+

4

5

∵|x|≥2，∴当x=

12

5

时，|PA|²的最小值为

4

5

，
即|PA|的最小值为

2 5

5

．