题目

题型：不详难度：来源：

设双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，左，右顶点分别为A₁，A₂．过F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线l与另一条渐近线相交于P，若P恰好在以A₁A₂为直径的圆上，则双曲线C的离心率为（　　）

A． 2

B．2

C． 3

D．3

答案

由题意可得：双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线方程为：y=±

b

a

x，
所以设直线l的方程为：y=

b

a

(x-c)，则直线l与双曲线的另一条渐近线的交点为：P（

c

2

，-

bc

2a

），
所以

PA1

=(-a-

c

2

，

bc

2a

)，

PA2

=(a-

c

2

，

bc

2a

)．
因为P恰好在以A₁A₂为直径的圆上，
所以

PA1

•

PA2

=0，即(-a-

c

2

，

bc

2a

)•(a-

c

2

，

bc

2a

)=0，
所以整理可得：b²c²=4a⁴-a²c²
所以结合b²=c²-a²可得：2a²=c²，所以e=

c

a

=

2

．
故选A．