已知双曲线（a>0,b>0）的右准线一条渐近线交于两点P、Q，F是双曲线的右焦点。（I）求证：PF⊥；（II）若△PQF为等边三角形，且直线y=x+ - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知双曲线

（a>0,b>0）的右准线

一条渐近线

交于两点P、Q，F是双曲线的右焦点。
（I）求证：PF⊥

；
（II）若△PQF为等边三角形，且直线y=x+b交双曲线于A，B两点，且

，求双曲线的方程；
（III）延长FP交双曲线左准线

和左支分别为点M、N，若M为PN的中点，求双曲线的离心率e。

答案

(1) 证明见解析
（2）双曲线方程为

（3）e=

解析

(1) 不妨设

, F.(c,0)
设

k₂=

∴k₁k₂=－1.
即PF⊥

.
（2）由题

. x²－bx－b²="0,"

∴a="1," ∴双曲线方程为

（3）

y=－

M(－

∴N（－

）.
又N在双曲线上。∴

∴e=

核心考点

试题【已知双曲线（a>0,b>0）的右准线一条渐近线交于两点P、Q，F是双曲线的右焦点。（I）求证：PF⊥；（II）若△PQF为等边三角形，且直线y=x+】；主要考察你对双曲线的定义与方程等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，双曲线

=1(b∈N^*)的两个焦点为F₁、F₂，P为双曲线上一点，|OP|＜5,|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等差数列，求此双曲线方程.

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若k>1,则关于x、y的方程(1-k)x²+y²=k²-1所表示的曲线是( )

A．焦点在x轴上的椭圆	B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在y轴上的双曲线	D．焦点在x轴上的双曲线

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椭圆

=1(m>n>0)和双曲线

=1(a>0,b>0)有相同的焦点F₁、F₂,P是这两条曲线的一个交点,则|PF₁|·|PF₂|等于( )

A．m-a

B．

(m-a)

C．m²-a²

D．

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设双曲线

=1的右支上有三点M、N、P,若这三点到右焦点的距离成等差数列,则它们的横坐标m、n、p( )

A．必定成等差数列	B．必定成等比数列
C．既不成等差数列也不成等比数列	D．有时成等差数列,有时成等比数列

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双曲线

=1的两个焦点为F₁、F₂,点P在双曲线上,若PF₁⊥PF₂,则点P到x轴的距离为__________________.

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