题目

题型：不详难度：来源：

已知平面上一定点C（4，0）和一定直线为该平面上一动点，作，垂足为Q，且.
（1）问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；
（2）设直线与（1）中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D（0，－2）？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.

答案

（1）P点在双曲线上，其方程为
（2）满足题意的k值存在，且k值为

解析

（1）设P的坐标为，由得
（2分）∴（（4分）
化简得  ∴P点在双曲线上，其方程为（6分）
（2）设A、B点的坐标分别为、，
由 得（7分）
，（8分）
∵AB与双曲线交于两点，∴△>0，即
解得（9分）
∵若以AB为直径的圆过D（0，－2），则AD⊥BD，∴，
即，（10分）
∴
∴
解得，故满足题意的k值存在，且k值为.