题目

题型：不详难度：来源：

如图，双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为. 则

（Ⅰ）双曲线的离心率       ；
（Ⅱ）菱形的面积与矩形的面积的比值       .

答案

（Ⅰ）（Ⅱ）

解析

（本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义，以及一般平面几何图形的面积计算.
Ⅰ）由于以为直径的圆内切于菱形，因此点到直线的距离为，又由于虚轴两端点为，，因此的长为，那么在中，由三角形的面积公式知，，又由双曲线中存在关系联立可得出，根据解出
（Ⅱ）设,很显然知道,因此.在中求得故；
菱形的面积，再根据第一问中求得的值可以解出.