题目

题型：同步题难度：来源：

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F₁（-3，0），一条渐近线的方程是   (1)求双曲线C的方程；    
(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．

答案

解：(1)设双曲线C的方程为(a>0.b>0).
由题设得解得
所以双曲线C的方程为
(2)设直线l的方程为y=kx+m(k≠0)．
点M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)的坐标满足方程组
将①式代入②式，得
整理得(5-4k²)x²-8kmx-4m²-20=0.
此方程有两个不等实根，
于是5-4k²≠0，且Δ=(-8km)² +4(5-4k²)(4m²+20)>0.
整理得m²+5-4k² >0.    ③
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标(x₀，y₀)满足
从而线段MN的垂直平分线的方程为
此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为
由题设可得
整理得．
k≠0．将上式代入③式得
整理得(4k²-5) (4k²-|k|-5)>0,k≠0,
解得或
所以k的取值范围是