题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点为F₁，左焦点为F₂，若椭圆上存在一点P，满足线段PF₁相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF₁的中点，则该椭圆的离心率为（　　）

A． 5 3

B． 2 3

C． 2 2

D． 5 9

答案

设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF₁相切于点M，连结OM、PF₂，
∵M、O分别为PF₁、F₁F₂的中点，
∴MO∥PF₂，且|PF₂|=2|MO|=2b，
又∵线段PF₁与圆O相切于点M，可得OM⊥PF₁，
∴PF₁⊥PF₂，
Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|=2c，|PF₂|=2b，
∴|PF₁|=

|F1F2|2-|PF2|2

=

4c2-4b2

，
根据椭圆的定义，得|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴

4c2-4b2

+2b=2a，即

c2-b2

=a-b，
两边平方得：c²-b²=（a-b）²，即a²-2b²=（a-b）²，化简得2ab-3b²=0，解得b=

2

3

a，
因此，c=

a2-b2

=

5

3

a，可得椭圆的离心率e=

c

a

=

5

3

．
故选：A