题目

题型：0103 期中题难度：来源：

已知椭圆和圆O：，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B。
（1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；　
（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得，求椭圆离心率e的取值范围；　
（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：为定值。

答案

解：（1）（ⅰ）∵圆O过椭圆的焦点，圆O：，
∴b=c，
∴，
即，
∴。
（ⅱ）由及圆的性质，可得，
∴，
∴，，
∴。
（2）设，则，
整理，得，
，
∴PA的方程为：，
PB的方程为：，
令，得；
令y=0，得，
∴，
∴是定值，定值为。