题目

题型：江西省高考真题难度：来源：

如图，已知抛物线C₁：x²+by=b²经过椭圆C₂：的两个焦点。
（Ⅰ）求椭圆C₂的离心率；
（Ⅱ）设点Q（3，6），又M，N为C₁与C₂不在y轴上的两个交点，若△QMN的重心在抛物线C₁上，求C₁和C₂的方程。

答案

解：（Ⅰ）因为抛物线C₁经过椭圆C₂的两个焦点F（-c，0），F₂（c，0）
所以c²+b×0=b²，即c²=b²
由a²=b²+c²=2c²
所以椭圆C₂的离心率；
（Ⅱ）由（I）可知a²=2b²，椭圆C₂的方程为
联立抛物线C₁的方程x²+by=b²得2y²-by-b²=0
解得或（舍去）
所以
即
所以△QMN的重心坐标为（1，0）
因为重心在C₁上
所以1²+b×0=b²，得b=1
所以a²=2
所以抛物线C₁的方程为x²+y=1，椭圆C₂的方程为。