题目

题型：广东省期末题难度：来源：

已知椭圆E的方程为2x²+y²=2，过椭圆E的一个焦点的直线l交椭圆于A、B两点。
（1）求椭圆E的长轴和短轴的长，离心率，焦点和顶点的坐标；
（2）求△ABO（O为原点）的面积的最大值。

答案

解：（1）将椭圆E的方程化为标准方程：
于是，，
因此，椭圆E的长轴长为，短轴长为，离心率，两
个焦点坐标分别是F₁（0，-1）、F₂（0，1），
四个顶点的坐标分别是，，和。
（2）依题意，不妨设直线l过F₂（0，1）与椭圆E的交点
则
根据题意，直线l的方程可设为
将代入得
由韦达定理得：
所以
（当且仅当，即时等号成立）
故△ABO的面积的最大值为。