题目

题型：期末题难度：来源：

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点D（1，）．A，B分别是椭圆C的左右顶点，M为椭圆上一点，直线AM，BM分别交椭圆右准线L于P，Q．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求的值
（3）求|PQ|的最小值．

答案

解：（1）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，
∴==，
∴b²= a²  ①
再由椭圆经过点D（1，），可得 ，即 ②．
由①②解得 a²=4，b²=3，
故椭圆C的方程．
（2）由题意可得 A（﹣2，0），B（2，0），
∵M为椭圆上一点，可设M（2cosθ，sinθ）．
∵直线AM，BM分别交椭圆右准线L于P，Q，椭圆右准线L方程为 x=4，
故可设p（4，y₁），Q（4，y₂）．
由题意可得 A、M、P三点共线，可得 K_AM=K_AP，
∴=，∴y₁=3．
再由M、B、P 三点共线，可得 K_BM=K_BQ，
∴=，∴y₂=．
∴=（6，3 ），=（2，）．
∴=（6，3 ）（2，）
=12+3=12+9 =12﹣9=3，
即 =3．
（3）由（2）|y_p||y_q|=9，
∴|PQ|=|y_p﹣y_q |=|y_p|+|y_q|≥2=6，
当且仅当|y_p|=|y_q|时等号成立，
故|PQ|的最小值为6．