题目

题型：江苏省期末题难度：来源：

已知：如图，圆O：x²+y²=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其左焦点为F，若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆的左准线l于点Q．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点P的坐标为（1，1），①求线段PQ的长；②求证：直线PQ与圆O相切．

答案

（1）解：设椭圆C的标准方程为
因为圆O：x²+y²=2交x轴于A，B两点，
所以|AB|=2
∵曲线C是以AB为长轴，
∴，
∴
∵椭圆的离心率为，
∴c=1，
∴
∴此椭圆的标准方程为
（2）①解：由（1）知椭圆的左焦点F（﹣1，0），而点P（1，1）
所以直线PF的方程为，即
直线QO的方程为y=﹣2x，而椭圆的左准线方程为x=﹣2，
所以点Q的坐标为（﹣2，4）
因此|PQ|=3
②证明：直线PQ的方程为：y=﹣（x﹣1）+1，即x+y﹣2=0
而点O到直线PQ的距离为d=
所以直线PQ与圆O相切