题目

题型：宝坻区二模难度：来源：

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上两点A，B与中心O的连线互相垂直，则

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=______．

答案

设当直线OA斜率存在且不为0时，设方程为y=kx，
∵A，B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB．∴直线OB方程为y=-

1

K

x
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把y=kx代入

x2

a2

+

y2

b2

=1得 X₁²=

a2b2

b2+a2k2

，∴y12=

k2a2b2

b2+a2k2

．
把y=-

1

k

x代入

x2

a2

+

y2

b2

=1得   x22=

a2b2k2

a2+b2k2

，∴y22=

a2 b2

a2+b2k2

．
∴

1

|OA|2

+

1

|OB| 2

=

1

x12+y12

+

1

x22+y22

=

1

a2b2 b2+a2k2 + k2a2b2 b2+a2k2

+

1

a2b2k2 a2+b2k2 + a2b2 a2+b2k2

=

a2+b2

a2b2

．
当直线OA，OB其中一条斜率不存在时，则另一条斜率为0此时

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

a2+b2

a2b2

．
综上，

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

a2+b2

a2b2

．
故答案为：

a2+b2

a2b2

．