已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P使asin∠PF1F2=csin∠PF2F1， - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：重庆难度：来源：

已知椭圆

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），若椭圆上存在一点P使

sin∠PF1F2

sin∠PF2F1

，则该椭圆的离心率的取值范围为______．

答案

在△PF₁F₂中，
由正弦定理得：

|PF2|

sin∠PF F2

|PF1|

sin∠PF2F1

则由已知得：

|P F2|

|P1F1|

，
即：a|PF₁|=c|PF₂|
设点（x₀，y₀）由焦点半径公式，
得：|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex₀
则a（a+ex₀）=c（a-ex₀）
解得：x0=

a(c-a)

e(c+a)

a(e-1)

e(e+1)

由椭圆的几何性质知：x₀＞-a则

a(e-1)

e(e+1)

＞-a，
整理得e²+2e-1＞0，解得：e＜-

-1或e＞

-1，又e∈（0，1），
故椭圆的离心率：e∈(

-1，1)，
故答案为：(

-1，1)．

核心考点

试题【已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P使asin∠PF1F2=csin∠PF2F1，】；主要考察你对椭圆的几何性质等知识点的理解。[详细]

举一反三

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率为

．过F₁的直线交椭圆C于A，B两点，且△ABF₂的周长为8．过定点M（0，3）的直线l₁与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l₁的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG、PH为邻边的平行四边形为菱形．如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．

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已知椭圆C：