题目

题型：不详难度：来源：

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两顶点为A（a，0），B（0，b），且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（　　）

A． 3 -1 2

B． 1+ 5 4

C． 5 -1 2

D． 3 +1 4

答案

依题意可知点F（-c，0）
直线AB斜率为

b-0

0-a

=-

b

a

，直线BF的斜率为

0-b

c-0

=-

b

c

∵∠FBA=90°，
∴（ -

b

a

）•（ -

b

c

）=

b2

ac

=

a2-c2

ac

=-1
整理得c²-ac-a²=0，即

c

a

²⁺

c

a

-1=0，即e²-e-1=0
解得e=

5 -1

2

或

5 +1

2

∵e＜1
∴e=

5 -1

2

，
故选C．