题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，直线y=

1

2

x+1与椭圆相交于A、B两点，点M在椭圆上，且满足

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

．则b=______．

答案

∵由e=

3

2

∴a=2b；
设椭圆方程为

x2

4

+y2=b2
将直线方程与椭圆方程联立得
消去y得：x²+2x+2-2b²=0
则x₁=-1+

2b2-1

，x₂=-1-

2b2-1

，

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

=（

x1

2

+

3 x2

2

，

y1

2

+

3 y2

2

）
∴x_M=

x1

2

+

3 x2

2

=-

1+ 3

2

+（1-

3

）

2b2-1

2

y_M=

x1 2  +1

2

+

3( x2 2 +1)

2

=

1+ 3

2

+

xM

2

∵M在椭圆上，
代入椭圆方程得x_M²+（1+

3

）x_M+1+

3

2

-2b²=0
求得b²=1，b=1
故答案为：1