题目
题型:静安区一模难度:来源:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
(1)求椭圆的方程;
(2)点P是椭圆上一动点,定点A1(0,2),求△F1PA1面积的最大值;
(3)已知定点E(-1,0),直线y=kx+t与椭圆交于C、D相异两点.证明:对任意的t>0,都存在实数k,使得以线段CD为直径的圆过E点.
答案
a2+b2 |
2 |
过点A(0,-b)和B(a,0)的直线方程为
x |
a |
y |
-b |
| ||
2 |
由点到直线的距离公式得:
ab | ||
|
| ||
2 |
解得:a2=3,b2=1,
所以椭圆方程为
x2 |
3 |
(2)F1(-
2 |
2 |
6 |
当椭圆上的点P到直线F1A1距离最大时,△F1PA1面积取得最大值(6分)
设与直线F1A1平行的直线方程为y=
2 |
x2 |
3 |
y2 |
1 |
7 |
3 |
2 |
28 |
3 |
28 |
3 |
所以当d=-
7 |
2+
| ||
|
1 |
2 |
6 |
2+
| ||
|
2
| ||||
2 |
(3)证明:将y=kx+t代入椭圆方程,得(1+3k2)x2+6ktx+3t2-3=0,
由直线与椭圆有两个交点,所以△=(6kt)2-12(1+3k2)(t2-1)>0,解得k2>
t2-1 |
3 |
设C(x1,y1)、D(x2,y2),则x1+x2=-
6kt |
1+3k2 |
3(t2-1) |
1+3k2 |
因为以CD为直径的圆过E点,所以
EC |
ED |
而y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+tk(x1+x2)+t2,
所以(k2+1)
3(t2-1) |
1+3k2 |
6kt |
1+3k2 |
2t2-1 |
3t |
如果k2>
t2-1 |
3 |
2t2-1 |
3t |
t2-1 |
3 |
(t2-1)2+t2 |
9t2 |
t2-1 |
3 |
所以,对任意的t>0,都存在k,使得以线段CD为直径的圆过E点.(16分)
核心考点
试题【已知椭圆x2a2+y2b2=1的两个焦点为F1(-c,0)、F2(c,0),c2是a2与b2的等差中项,其中a、b、c都是正数,过点A(0,-b)和B(a,0)】;主要考察你对椭圆的几何性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
x2 |
2 |
(1)求证:动点P到椭圆C1的右焦点的距离与到直线x=2的距离之比等于椭圆的离心率;
(2)设椭圆C1上的三点A(x1,y1),B(1,
| ||
2 |
(3)若直线PQ与椭圆C1和动圆C2均只有一个公共点,求P、Q两点的距离|PQ|的最大值.
x2 |
16 |
y2 |
12 |
x2 |
16 |
y2 |
7 |
x2 |
4 |
A.
| B.
| C.
| D.
|
x2 |
25 |
y2 |
9 |
A.10 | B.6 | C.5 | D.4 |
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