题目

题型：不详难度：来源：

已知点F(1，0)，直线l:x=2.设动点P到直线l的距离为d,且|PF|=d,≤d≤.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若·=，求向量与的夹角.

答案

(1) 轨迹方程为+y²=1(≤x≤).
(2)θ=arccos

解析

(1)根据椭圆的第二定义知，点P的轨迹为椭圆.由条件知c=1,=2,∴a=.
e===满足|PF|=d.
∴P点的轨迹为+=1.
又d=－x,且≤d≤,
∴≤2－x≤.∴≤x≤.
∴轨迹方程为+y²=1(≤x≤).
(2)由(1)可知，P点的轨迹方程为+y²=1(≤x≤),∴F(1,0)、P(x₀,y₀).
=(1,0),=(x₀,y₀),=(1－x₀,－y₀).
∵·=,∴1－x₀=.
∴x₀=,y₀=±.
又·=||·||·cosθ,
∴1·x₀+0·y₀=·1·cosθ.
∴cosθ====.
∴θ=arccos.