题目

题型：不详难度：来源：

（（本小题满分12分）
已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆短半轴长为1，动点  在直线上。
（1）求椭圆的标准方程
（2）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值。

答案

1）又由点M在准线上，得            
故，   从而               所以椭圆方程为                                   
（2）以OM为直径的圆的方程为即                                
其圆心为,半径                              
因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2
所以圆心到直线的距离      所以，解得所求圆的方程为                       
（3）方法一：由平几知：
直线OM：，直线FN：       由得
所以线段ON的长为定值。
方法二、设，则 
             
又
所以，为定值         

解析

略