题目
题型:不详难度:来源:
(I)求椭圆的方程;
(II)直线与椭圆交于,两点,且线段的垂直平分线经过点,求(为原点)面积的最大值.
答案
解析
试题分析:(I)由图形的对称性及椭圆的几何性质,易得 ,进而写出方程; (II) ΔAOB的面积可以用 ,所以本题需要用弦长公式表示AB的长度,用点到之间的距离公式表示坐标原点O到直线的距离,而这些都需要有直线的方程作为前提条件。所以本题应先考虑设出直线AB的方程.此外,设方程的过程中,注意对于特殊情形的讨论.
试题解析:
(I)因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为2,
一内角为的菱形的四个顶点,
所以,椭圆的方程为 4分
(II)设因为的垂直平分线通过点, 显然直线有斜率,
当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴,则
所以
因为,
所以,当且仅当时,取得最大值为 7分
当直线的斜率不为时,则设的方程为
所以,代入得到
当, 即
方程有两个不同的解
又, 8分
所以,
又,化简得到
代入,得到 10分
又原点到直线的距离为
所以
化简得到 12分
因为,所以当时,即时,取得最大值
综上,面积的最大值为.
核心考点
试题【已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为的菱形的四个顶点.(I)求椭圆的方程;(II)直线与椭圆交于,两点,且线段的垂直平分线经过点,求(为原点)面积的最大】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(I)求椭圆C的方程;
(II)若直线y =kx交椭圆C于A,B两点,在直线l:x+y-3=0上存在点P,使得 ΔPAB为等边三角形,求k的值.
(I)求椭圆的方程;
(II)若点的坐标为,不过原点的直线与椭圆相交于两点,设线段的中点为,点到直线的距离为,且三点共线.求的最大值.
(Ⅰ)求椭圆的方程
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于、两点,若(为坐标原点),求证:直线与圆相切.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点任作一动直线l交椭圆C于两点,记,若在线段上取一点R,使得,则当直线l转动时,点R在某一定直线上运动,求该定直线的方程.
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