题目

题型：0112 模拟题难度：来源：

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q。

答案

解：（Ⅰ）由题意知，所以，，即，
又因为，所以，，
故椭圆C的方程为。
（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x-4），
由得， ①
设点，则，
直线AE的方程为，
令y=0，得，
将代入整理，得，②
由①得，
代入②整理，得x=1，
所以直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）。