题目

题型：专项题难度：来源：

已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；l₁，l₂是过点P（0，2）且互相垂直的两条直线，l₁交E于A，B两点，l₂交E于C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N。
（1）求椭圆E的方程；
（2）求l₁的斜率k的取值范围；
（3）求证：直线OM与直线ON的斜率乘积为定值（O为坐标原点）。

答案

解：（1）设椭圆方程为
由得
∴椭圆方程为。
（2）由题意知，直线l₁的斜率存在且不为零
设l₁：y=kx+2，则l₂：
由消去y并化简整理，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，
根据题意，Δ=（16k）²-16（3+4k²）>0，
解得
同理得
∴。
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），那么

∴，
∴
同理可得
即
∴
即直线OM与直线ON的斜率乘积为定值。