题目

题型：专项题难度：来源：

已知椭圆Γ的方程为（a>b>0），A（0，b），B（0，-b）和 Q（a，0）为Γ的三个顶点。
（1）若点M满足，求点M的坐标；
（2）设直线l₁：y=k₁x+p交椭圆Γ于C，D两点，交直线l₂：y=k₂x于点E，若，证明：E为CD的中点；
（3）设点P在椭圆Γ内且不在x轴上，如何作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆Γ的两个交点P₁，P₂满足？令a=10，b=5，点P的坐标是（-8，-1）。若椭圆Γ上的点P₁，P₂满足，求点P₁，P₂的坐标。

答案

解：（1）设点M的坐标为（x₀，y₀），由题意可知
∵
∴
∴点M的坐标为。
（2）由得
∴CD中点坐标为
∵
∴
由得l₁与l₂的交点E的坐标为
∴l₁与l₂的交点E为CD的中点。
（3）设OF的斜率为k₁，过F作斜率为的直线交椭圆于P₁，P₂两点
由（2）可知，F是P₁P₂的中点，四边形PP₁QP₂是平行四边形，
所以，直线P₁P₂即为所求，
由a=10，b=5及点P（-8，-1），得PQ的中点为，OS的斜率
过点S且斜率的直线l的方程是
记l与Γ的交点为P₁，P₂，则
由解得P₁（8，3），P₂（-6，-4）。