题目

题型：江西省月考题难度：来源：

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆+=1（a＞b＞0）的两点，=（，），=（，），且=0，椭圆离心率e=，短轴长为2，O为坐标原点．
（1）求椭圆方程；
（2）若存在斜率为k的直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求k的值；
（3）试问△AOB的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

答案

解：（1）∵椭圆离心率e=，短轴长为2，
∴，
解得a=2，b=1
∴所求椭圆方程为；
（2）设AB方程为y=kx+，与椭圆方程联立，
消元可得（k²+4）x²+2kx﹣1=0
∴，
由已知=（，），=（，），且=0，
∴+=0
∴（k）=0
∴k=±
（3）当A为顶点时，B必为顶点，则△AOB的面积是1；
当A，B不为顶点时，
设AB方程为y=kx+m与椭圆方程联立，
消元可得（k²+4）x²+2kmx+m²﹣4=0
∴，
∵=0，
∴（kx₂+m）=0
∴2m²﹣k²=4
∴△AOB的面积是|m||x₁﹣x₂|==．
∴三角形的面积为定值1．