题目

题型：江苏同步题难度：来源：

已知焦点在x轴上，中心在坐标原点的椭圆C的离心率为，且过点（，1）．
（I）求椭圆C的方程；
（II）直线l分别切椭圆C与圆M：x²+y²=R²（其中3＜R＜5）于A、B两点，求|AB|的最大值．

答案

解：（I）设椭圆的方程为，则 ，a，
∴，
∵椭圆过点，
∴，解得 a²=25，b²=9，
故椭圆C的方程为
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别为直线l与椭圆和圆的切点，
直线AB的方程为y=kx+m，
因为A既在椭圆上，又在直线AB上，从而有，
消去y得：（25k²+9）x²+50kmx+25（m²﹣9）=0，
由于直线与椭圆相切，
故△=（50kmx）²﹣4（25k²+9）x25（m²﹣9）=0，
从而可得：m²=9+25k²，①，x₁=，②
由．消去y得：（k²+1）x²+2kmx+m²﹣R²=0，
由于直线与圆相切，得m²=R²（1+k²），③，x₂=，④
由②④得：x₂﹣x₁=，
由①③得：k²=，
∴|AB|²=（x₂﹣x₁）²+（y₂﹣y₁）²=（1+k²）（x₂﹣x₁）²=
=
即|AB|≤2，当且仅当R=时取等号，所以|AB|的最大值为2