题目

题型：山西省月考题难度：来源：

设椭圆C₁：的左、右焦点分别是F₁、F₂，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C₂：y=x²﹣1与y轴的交点为B，且经过F₁，F₂点．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C₂上的一动点，过点N作抛物线C₂的切线交椭圆C₁于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．

答案

解：（Ⅰ）由题意可知B（0，﹣1），则A（0，﹣2），故b=2．
令y=0得x²﹣1=0即x=±1，
则F₁（﹣1，0），F₂（1，0），故c=1．
所以a²=b²+c²=5．
于是椭圆C₁的方程为：．
（Ⅱ）设N（t，t²﹣1），
由于y"=2x知直线PQ的方程为：y﹣（t²﹣1）=2t（x﹣t）．
即y=2tx﹣t²﹣1．
代入椭圆方程整理得：4（1+5t²）x²﹣20t（t²+1）x+5（t²+1）²﹣20=0，
△=400t²（t²+1）²﹣80（1+5t²）[（t²+1）²﹣4]=80（﹣t⁴+18t²+3），，，
故=．
设点M到直线PQ的距离为d，则．
所以，△MPQ的面积S==
==
当t=±3时取到“=”，经检验此时△＞0，满足题意．
综上可知，△MPQ的面积的最大值为．