题目

题型：湖北省模拟题难度：来源：

已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为，且经过点（－1，），过点P（2，1）的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求直线l的方程以及点M的坐标；
（3）是否存在过点P的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足·=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

答案

解：⑴设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），
由题意，得
解得a²=4，b²=3，故椭圆C的方程为
⑵因为过点P（2，1）的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，
故可设直线l的方程为y=k(x-2)+1.
由，得（3+4k²）x²-8k(2k-1)x+16k²-16ｋ-8=0.①
因为直线l与椭圆相切，所以Δ=［-8k(2k-1)］²-4(3+4k²)（16k²-16k-8）=0.
整理，得32(6k+3)=0，解得k=-.
所以直线l方程为y=-(x-2)+1=-x+2.
将k=-代入①式，可以解得M点的横坐标为1，
故切点M的坐标为(1，).
⑶若存在直线l₁满足条件，
设其方程为y=k₁(x-2)+1，代入椭圆C的方程，得(3+4k²₁)x²-8k₁(2k₁-1)x+16k²₁-16k₁-8=0.
因为直线l₁与椭圆C相交于不同的两点A，B，
设A，B两点的坐标分别为A（x₁，y₁），B(x₂，y₂)，
所以Δ=［-8k₁（2k₁-1）］²-4（3+4k²₁）(16k²₁-16k₁-8)=32(6k₁+3)＞0.
所以k₁＞-.x₁+x₂=，x₁x₂=.
因为·=即（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-1）（y₂-1）=，
所以（x₁-2）（x₂-2）（1+k²₁）=｜PM｜²=.
即［x₁x₂-2（x₁+x₂）+4］（1+k²₁）=.
所以［-2·+4］（1+k²₁）=，解得k₁=±.    
因为k₁＞-所以k₁=.
于是存在直线l₁满足条件，
其方程为y=x