题目

题型：山西省模拟题难度：来源：

设椭圆C₁：（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁、F₂，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图，若抛物线C₂：y=x²-1与y轴的交点为B，且经过F₁，F₂点。
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设M（0，-），N为抛物线C₂上的一动点，过点N作抛物线C₂的切线交椭圆C₁于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值。

答案

解：（1）由题意可知B（0，-1），则A（0，-2），故b=2
令y=0得即，则F₁（-1，0），F₂（1，0），故c=1
所以
于是椭圆C₁的方程为：；
（2）设N（t，t²-1），由于知直线PQ的方程为

即
代入椭圆方程整理得：


=
，
故

设点M到直线PQ的距离为d，则

所以的面积S=



当时，取到“=”，经检验此时，满足题意
综上可知，的面积的最大值为。