题目

题型：北京期末题难度：来源：

已知椭圆(a＞b＞0)的右焦点为F₂(3，0)，离心率为e，
(1)若e=，求椭圆的方程；
(2)设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF₂，BF₂的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围。

答案

解：(1)由题意得，得，所以a²=12，
结合a²=b²+c²，解得b²=3，
所以，椭圆的方程为。
(2)由得(b²+a²k²)x²-a²b²=0，
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，所以x₁+x₂=0，，
依题意知，OM⊥ON，
易知，四边形OMF₂N为矩形，所以AF₂⊥BF₂，
因为，
所以(x₁-3)(x₂-3)+y₁y₂=(1+k²)x₁x₂+9=0，
即，
将其整理为，
因为，
所以，
所以，即。