题目

题型：上海高考真题难度：来源：

已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中a²=b²+
c²，a＞0，b＞c＞0。如图，设点F₀，F₁，F₂是相应椭圆的焦点，A₁，A₂和B₁，B₂是“果圆”与x，y轴的交点，
（1）若三角形F₀F₁F₂是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若|A₁A|＞|B₁B|，求的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由。

答案

解：（1）∵，
∴，
于是，
所求“果圆”方程为。
（2）由题意，得a+c＞2b，即，
，
∴，得，
又，
∴，
（3）设“果圆”的方程为，
记平行弦的斜率为k，
当k=0时，直线与半椭圆的交点是，
与半椭圆的交点是，
∴P，Q的中点M（x，y）满足，得，
∵a＜2b，
∴，
综上所述，当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上；
当k＞0时，以k为斜率过B₁的直线l与半椭圆的交点是，
由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上；
当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上。