题目

题型：福建省月考题难度：来源：

已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，且椭圆经过圆C：x²+y²﹣3x+4y=0的圆心C． （1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线l：y=kx+1与椭圆交于A，B两点，点P（0，）且|PA|=|PB|，求直线的方程．

答案

解：（1）圆C：x²+y²﹣3x+4y=0的圆心C（1，﹣2），
设椭圆方程为，
依题意有，解得，
椭圆方程为．
（2）由，得（k²+2）x²+2kx﹣5=0，
△=4k²+20（k²+2）=24k²+40＞0，
故直线与椭圆必有两个不同的交点，
设两交点坐标A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点M（），
，，
，
|PA|=|PB|，PMAB，
①当k=0时，直线l：y=1，此时A，B关于y轴对称，满足PMAB；
②当k0时，==﹣1（k0），解得k=1或k=﹣1，
直线l：y=x+1或y=﹣x+1．
综上所述，直线l的方程为y=1或y=x+1或y=﹣x+1．