题目

题型：江苏月考题难度：来源：

如图，椭圆的中心为原点O，已知右准线l的方程为x=4，右焦点F到它的距离为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设圆C经过点F，且被直线l截得的弦长为4，求使OC长最小时圆C的方程．

答案

解：（1）设椭圆的标准方程为（a＞b＞0）．
由题意可得，
解得a=2，c=2．
从而b²=a²﹣c²=4．
所以椭圆的标准方程为．
（2）设圆C的方程为（x﹣m）²+（y﹣n）²=r²，r＞0．
由圆C经过点F（2，0），得（2﹣m）²+n²=r²，①
由圆C被l截得的弦长为4，得|4﹣m|²+（）²=r²，②
联立①②，消去r得：n²=16﹣4m．
所以|OC|===．
∵n²≥0，
∴m≤4，
∴当m=2时，|OC|有最小值2．
n=±2，r=2，
故所求圆C的方程为（x﹣2）²+（y±2）²=8．