题目

题型：高考真题难度：来源：

在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的离心率且椭圆上的点到点的距离的最大值为3。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在椭圆上，是否存在点，使得直线：与圆：相交于不同的两点、，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由。

答案

解：（Ⅰ）因为，
所以，于是
设椭圆上任一点，
则（）
当时，在时取到最大值，且最大值为，
由解得，与假设不符合，舍去
当时，在时取到最大值，且最大值为，
由解得，于是，
椭圆的方程是。
（Ⅱ）圆心到直线的距离为，弦长，
所以的面积为，
于是
而是椭圆上的点，所以，
即，于是，而，
所以，，所以，
于是当时，取到最大值，此时取到最大值，
此时，，
椭圆上存在四个点、、、，使得直线与圆相交于不同的两点、，且的面积最大，且最大值为。