题目
题型:黑龙江省模拟题难度:来源:
(1) 求椭圆C1的方程;
(2) 已知点P(1,3)和圆O:x2+y2=b2,过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A,B,在线段AB上取一点Q,满足 ,λ≠0且λ≠±1。求证:点Q总在某定直线上。
答案
因M在抛物线C2上,故x02=4y0,
又|MF1|= ,则y0+1= ,得x0=,y0= ,
而点M在椭圆上,有,又c=1,
所以椭圆方程为
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y),
由AP=-λPB,得(1-x1,3-y1)=- λ(x2-1,y2-3),即 x1-λx2=(1-λ) ①
y1-λy2=3(1-λ) ②
由 ,得x1+λx2=(1+λ)x ③
y1+λy2=(1+λ)y, ④
∴①×③,得x12-λ2x22=(1-λ2)x ,
②×④,得y12-λ2y22=3y(1-λ2)
两式相加得(x12+y12)- λ2(x22+y22)=(1-λ22)(x+3y),
又点A,B在圆 x2+y2=b2上,由(1)知,即在圆x2+y2=3上,且λ≠±1,
∴x12+y12=3, x22+y22=3,即x+3y=3,
∴点Q总在定直线x+3y=3上
核心考点
举一反三