题目
题型:广州二模难度:来源:
3 |
2 |
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)若直线l:y=k(x-1)(k≠0)与椭圆E交于M、N两点,证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上.
答案
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
则a=2,又点C(1,
3 |
2 |
1 |
22 |
9 |
4b2 |
∴椭圆E的方程为
x2 |
4 |
y2 |
3 |
当椭圆E的焦点在y轴上时,设其方程为
x2 |
b2 |
y2 |
a2 |
则b=2,又点C(1,
3 |
2 |
1 |
22 |
9 |
4a2 |
3 |
2 |
综上可知,椭圆E的方程为
x2 |
4 |
y2 |
3 |
解法二:设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0),
将A(-2,0)、B(2,0)、代入椭圆E的方程,得
|
1 |
4 |
1 |
3 |
∴椭圆E的方程为
x2 |
4 |
y2 |
3 |
(Ⅱ)证法一:将直线l:y=k(x-1)代入椭圆E的方程
x2 |
4 |
y2 |
3 |
设直线l与椭圆E的交点M(x1,y1),N(x2,y2),
由根与系数的关系,得x1+x2=
8k2 |
3+4k2 |
4(k2-3) |
3+4k2 |
直线AM的方程为:y=
y1 |
x1+2 |
6y1 |
x1+2 |
2y2 |
x2-2 |
下面证明P、Q两点重合,即证明P、Q两点的纵坐标相等:P
∵y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),
∴
6y1 |
x1+2 |
2y2 |
x2-2 |
6k(x1-1)(x2-2)-2k(x2-1)(x1+2) |
(x1+2)(x2-2) |
2k[2x1x2-5(x1+x2)+8] |
(x1+2)(x2-2) |
2k[
| ||||
(x1+2)(x2-2) |
因此结论成立.
综上可知,直线AM与直线BN的交点在直线x=4上. …(14分)
证法二:将直线l:y=k(x-1),代入椭圆E的方程
x2 |
4 |
y2 |
3 |
设直线l与椭圆E的交点M(x1,y1),N(x2,y2),
由根与系数的关系,得x1+x2=
8k2 |
3+4k2 |
4(k2-3) |
3+4k2 |
直线AM的方程为:y=
y1 |
x1+2 |
k(x1-1) |
x1+2 |
直线BN的方程为:y=
y2 |
x2-2 |
k(x2-1) |
x2-2 |
由直线AM与直线BN的方程消去y,得x=
2(2x1x2-3x1+x2) |
x1+3x2-4 |
2[2x1x2-3(x1+x2)+4x2] |
(x1+x2)+2x2-4 |
2[
| ||||
|
4(-
| ||
-
|
∴直线AM与直线BN的交点在直线x=4上. …(14分)
证法三:将直线l:y=k(x-1),代入椭圆方程
x2 |
4 |
y2 |
3 |
设直线l与椭圆E的交点M(x1,y1),N(x2,y2),
由根与系数的关系,得x1+x2=
8k2 |
3+4k2 |
4(k2-3) |
3+4k2 |
消去k2得,2x1x2=5(x1+x2)-8. …(10分)
直线AM的方程为:y=
y1 |
x1+2 |
k(x1-1) |
x1+2 |
直线BN的方程为:y=
y2 |
x2-2 |
k(x2-1) |
x2-2 |
由直线AM与直线BN的方程消去y得,x=
2(2x1x2-3x1+x2) |
x1+3x2-4 |
2[5(x1+x2)-8-3x1+x2] |
x1+3x2-4 |
∴直线AM与直线BN的交点在直线x=4上. …(14分)
核心考点
试题【已知椭圆E的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过A(-2,0)、B(2,0)、C(1,32)三点.(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)若直线l:y=k(x-1)(k≠】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
(I)求椭圆的方程;
(II)若存在过点A(1,0)的直线l,使点F关于直线l的对称点在椭圆上,求λ的取值范围.