题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，左、右端点分别为A₁（-2，0），A₂（2，0）
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若在椭圆上存在两点A和B关于直线y=2x+m对称，求实数m的范围．

答案

（Ⅰ）由已知椭圆C的离心率e=

3

2

，a=2，可得 c=

3

，
所以b²=a²-c²=1，
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）设直线AB方程为：y=-

1

2

x+b，
由

y=- 1 2 x+b x2 4 +y2=1

，得x²-2bx+2b²-2=0，△=4b²-4（2b²-2）＞0，即b²＜2①，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=2b，所以线段AB中点横坐标为x=

x1+x2

2

=b，代入y=-

1

2

x+b，得y=

1

2

b，
由中点在直线y=2x+m上，得

1

2

b=2b+m，即

3

2

b+m=0②，
联立①②解得-

3 2

2

＜m＜

3 2

2

．
故所求实数m的取值范围为：-

3 2

2

＜m＜

3 2

2

．