题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为

2

2

，过点A的直线l与椭圆交于M、N两点，且|MN|=

4 2

3

（1）求椭圆的方程；
（2）求直线l的方程．

答案

（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为

2

2

，
∴

b=1 a2-b2 a2 = 1 2

∴a²=2，b=1
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1；
（2）由题意，直线的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+1，代入椭圆方程，消去y可得（1+2k²）x²+4kx=0
∴x=0或x=-

4k

1+2k2

，
∵|MN|=

4 2

3

∴

1+k2

|

4k

1+2k2

|=

4 2

3

∴k⁴-8k²+7=0
∴k=±1或k=±

7

∴直线l的方程为y=±x+1或y=±

7

x+1．