题目

题型：江苏模拟题难度：来源：

如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P和圆Q的半径都是2km，点P在圆Q上。现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地，
（Ⅰ）如图甲，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积；
（Ⅱ）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积。

答案

解：（Ⅰ）如图甲，过S作SH⊥RT于H，
，
由题意，△RST在月牙形公园里，
RT与圆Q只能相切或相离；
RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，
则有RT≤4，SH≤2，
当且仅当RT切圆Q于P时（如图乙），
上面两个不等式中等号同时成立，
此时，场地面积的最大值为
；
（Ⅱ）同（Ⅰ）的分析，要使得场地面积最大，
AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，
AD必须切圆Q于P（如图丙），
再设∠BPA=θ，则有

，
令y=sinθ+sinθcosθ，
则y′=cosθ+cosθcosθ+sinθ（-sinθ）=2cos²θ+cosθ-1，
若y′=0，，
又时，y′＞0，时，y′＜0，
函数y=sinθ+sinθcosθ在处取到极大值也是最大值，
故时，场地面积取得最大值为。